Question

设抛物线y²＝4ax(a＞0)的焦点为A，以B(a＋4，0)点为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交于不同两点M、N，点P是MN的中点．

(1)求|AM|＋|AN|的值；

(2)是否存在实数a，恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？若存在，求出a；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　设M、N、P在抛物线的准线上射影分别为、、， 　　则由抛物线定义得， 　　|AM|＋|AN|＝||＋||＝xM＋xN＋2a． 　　又圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16， 　　将y2＝4ax代入得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0， 　　∴xM＋xN＝2(4－a)，所以|AM|＋|AN|＝8． 　　(2)假设存在这样的a，使得2|AP|＝|AM|＋|AN|． 　　∵|AM|＋|AN|＝||＋||＝2||， 　　∴|AP|＝||． 　　由定义知点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾，所以这样的a不存在． 　　评析　　涉及焦点弦的问题，用定义将其转化为到定直线的距离，或许能取得意想不到的效果．