【题目】如图,在多面体中,四边形为菱形, , ,且平面平面.
(1)求证: ;
(2)若, ,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】【试题分析】(1)连接,根据菱形的几何性质有,由面面垂直的性质定理可知平面,所以, , ,所以平面,所以.(2) 设,过点作的平行线,以为坐标原点建立空间直角坐标系,通过计算平面和平面的法向量来求二面角的余弦值.
【试题解析】
(1)证明:
连接,由四边形为菱形可知,
∵平面平面,且交线为,
∴平面,∴,
又,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴;
(2)解:设,过点作的平行线,
由(1)可知两两互相垂直,
则可建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则,
所以,
设平面的法向量为,则,即,
取,则为平面的一个法向量,
同理可得为平面的一个法向量.
则,
又二面角的平面角为钝角,则其余弦值为.
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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【题目】某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过的包裹收费元;重量超过的包裹,除收费元之外,超过的部分,每超出(不足,按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如下:
包裹重量(单位: ) | |||||
包裹件数 |
公司对近天,每天揽件数量统计如下表:
包裹件数范围 | |||||
包裹件数 (近似处理) | |||||
天数 |
以上数据已做近似处理,并将频率视为概率.
(1)计算该公司未来天内恰有天揽件数在之间的概率;
(2)(i)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;
(ii)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人,每人每天揽件不超过件,工资元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人,试计算裁员前后公司每日利润的数学期望,并判断裁员是否对提高公司利润更有利?
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【题目】三角形的面积为,其中,,为三角形的边长,为三角形内切圆的半径,则利用类比推理,可得出四面体的体积为( )
A.
B.
C. ,(为四面体的高)
D. ,(,,,分别为四面体的四个面的面积,为四面体内切球的半径)
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【题目】若一个四位数的各位数字相加和为,则称该数为“完美四位数”,如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有( )个
A. B. C. D.
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