Question

如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C₁，C₂，…，C₆，直径AB上有异于A，B的四个点D₁，D₂，D₃，D₄.则：

(1)以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
(2)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C₁的有多少个？

Answer 1

（1）360  （2）36

解：(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：
①四个点从C₁，C₂，…，C₆中取出，有C₆⁴个四边形；
②三个点从C₁，C₂，…，C₆中取出，另一个点从D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆³C₆¹个四边形；
③二个点从C₁，C₂，…，C₆中取出，另外二个点从D₁，D₂，D₃，D₄，A，B中取出，有C₆²C₆²个四边形．
故满足条件的四边形共有
N＝C₆⁴＋C₆³C₆¹＋C₆²C₆²＝360(个)．
(2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为
C₆³＋C₆¹C₄²＋C₆²C₄¹＝116(个)．
其中含点C₁的有C₅²＋C₅¹C₄¹＋C₄²＝36(个)．