Question

设平面上向量

a

=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），

b

=（-

1

2

，

3

2

）．
（1）试证：向量

a

+

b

与

a

-

b

垂直；
（2）当两个向量

3

a

+

b

与

a

-

3

b

的模相等时，求角α．

Answer 1

分析：（1）利用向量加减法的坐标运算求出向量

a

+

b

与

a

-

b

的坐标，由向量数量积的坐标运算化简可得向量

a

+

b

与

a

-

b

的数量积为0，则结论得证；
（2）利用向量的数乘运算和加减法运算求出向量

3

a

+

b

与

a

-

3

b

的坐标，由模相等得到模的平方向等，转化为向量的平方相等后展开整理，由三角函数的值及角的范围可得答案．

解答：（1）证明：因为

a

=(cosα，sinα)，

b

=(-

1

2

，

3

2

)，
所以

a

+

b

=(cosα-

1

2

，sinα+

3

2

)，

a

-

b

=(cosα+

1

2

，sinα-

3

2

)．
(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=(cosα-

1

2

，sinα+

3

2

)•(cosα+

1

2

，sinα-

3

2

)
=(cosα-

1

2

)(cosα+

1

2

)+(sinα+

3

2

)(sinα-

3

2

)
=cos2α-

1

4

+sin2α-

3

4

=0．
所以向量

a

+

b

与

a

-

b

垂直；
（2）解：由|

a

|=1，|

b

|=1，且|

3

a

+

b

|=|

a

-

3

b

|，平方得(

3

a

+

b

)2=(

a

-

3

b

)2，
整理得2

a

2-2

b

2+4

3

a

•

b

=0，即

a

•

b

=0．
所以

a

•

b

=(cosα，sinα)•(-

1

2

，

3

2

)=-

1

2

cosα+

3

2

sinα=0，
即cos（60°+α）=0，或tanα=

3

3

．
因为0°≤α＜360°，所以α=30°或α=210°．

点评：本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了数学转化思想方法，训练了三角函数的已知三角函数值求角的方法，考查了学生的计算能力，是中档题．