已知,函数
.
(1)求的极值;
(2)若在
上为单调递增函数,求
的取值范围;
(3)设,若在
(
是自然对数的底数)上至少存在一个
,使得
成立,求
的取值范围。
(1) 无极大值(2)
(3)
解析试题分析:(1)由题意,,
,
∴当时,
;当
时,
,
所以,在
上是减函数,在
上是增函数,
故 无极大值. …4分
(2),
,
由于在
内为单调增函数,所以
在
上恒成立,
即在
上恒成立,故
,所以
的取值范围是
.…………………9分
(3)构造函数,
当时,由
得,
,
,所以在
上不存在一个
,使得
.
当时,
,
因为,所以
,
,
所以在
上恒成立,
故在
上单调递增,
,
所以要在上存在一个
,使得
,必须且只需
,
解得,故
的取值范围是
. …14分
另法:(Ⅲ)当时,
.
当时,由
,得
,
令,则
,
所以在
上递减,
.
综上,要在上存在一个
,使得
,必须且只需
.
考点:本小题主要考查利用导数求函数的单调区间,利用导数判断函数的单调性,解决有关方程的综合问题.
点评:纵观历年高考试题,利用导数讨论函数单调区间是函数考查的主要形式,是高考热点,是解答题中的必考题目,在复习中必须加强研究,进行专题训练,熟练掌握利用导数判断函数单调区间的方法,总结函数单调性应用的题型、解法,并通过加大训练强度提高解题能力.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分16分)
已知函数,
,
.
(1)当时,若函数
在区间
上是单调增函数,试求
的取值范围;
(2)当时,直接写出(不需给出演算步骤)函数
(
)的单调增区间;
(3)如果存在实数,使函数
,
(
)在
处取得最小值,试求实数
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题14分)设函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)已知,若函数
的图象总在直线
的下方,求
的取值范围;
(Ⅲ)记为函数
的导函数.若
,试问:在区间
上是否存在
(
)个正数
…
,使得
成立?请证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分14分)
已知函数(
),
.
(Ⅰ)当时,解关于
的不等式:
;
(Ⅱ)当时,记
,过点
是否存在函数
图象的切线?若存在,有多少条?若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若是使
恒成立的最小值,对任意
,
试比较与
的大小(常数
).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)设函数。
(1)若在
处取得极值,求
的值;
(2)若在定义域内为增函数,求
的取值范围;
(3)设,当
时,
求证:① 在其定义域内恒成立;
求证:② 。
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