Question

如图所示,在斜三棱柱A₁B₁C₁—ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB₁C₁C⊥底面ABC.

(1)若D是BC的中点,求证:AD⊥CC₁;

(2)过侧面BB₁C₁C的对角线BC₁的平面交侧棱于M,若AM=MA₁,求证:截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C.

(3)AM=MA₁是截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C的充要条件吗?请你叙述判断理由.

Answer 1

解析：(1)证明：∵AB=AC,D是BC中点,∴AD⊥BC.?

∵底面ABC⊥侧面BB₁C₁C,交线为BC,?

∴由面面垂直的性质定理可知AD⊥侧面BB₁C₁C.?

又∵CC₁侧面BB₁C₁C,∴AD⊥CC₁.?

(2)证法一：延长B₁A₁与BM交于N(在侧面AA₁B₁B中),连结C₁N.?

∵AM=MA₁,∴NA₁=A₁B₁.?

又∵A₁B₁=A₁C₁,由棱柱定义知△ABC≌△A₁B₁C₁,?

∴AB=A₁B₁,AC=A₁C₁.?

∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁.?

∴在△B₁C₁N中,由平面几何定理知∠NC₁B₁=90°,?

即C₁N⊥B₁C₁.?

又∵侧面BB₁C₁C⊥底面A₁B₁C₁,交线为B₁C₁,?

∴NC₁⊥侧面BB₁C₁C.?

又∵NC₁面BNC₁,∴截面C₁NB⊥侧面BB₁C₁C.?

?∴截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C.?

证法二：取BC₁中点E,连结DE、ME.在△BCC₁中,D、E分别是BC、BC₁中点,∴DE CC₁.?

又AA₁CC₁,∴DEAA₁.?

∵M是AA₁的中点(由AM=MA₁知),∴DE AM.?

∴AMED是平行四边形.?

∴ADME.?

由(1)知AD⊥面BB₁C₁C,∴ME⊥侧面BB₁C₁C.?

又∵ME面BMC₁,

∴面BMC₁⊥侧面BB₁C₁C.?

(3)结论是肯定的,充分性已由(2)证明.下面仅证明必要性(即由截面BMC₁⊥侧面BB₁C₁C,推出AM=MA₁,实质证明M是AA₁中点).?

过M作ME₁⊥BC₁于E₁.?

∵截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C,交线为BC₁,?

∴ME₁⊥面BB₁C₁C.?

又由(1)知AD⊥侧面BB₁C₁C.?

∵同垂直于一个平面的两条直线平行,

∴AD∥MB₁.?

∴M、E₁、D、A四点共面.?

又∵AM∥侧面BB₁C₁C,面AME₁D∩面BB₁C₁C=DE₁,∴由线面平行的性质定理可知AM∥DE₁.

又AD∥ME₁,∴四边形AME₁D是平行四边形.?

∴AD=ME₁,DE₁ AM.?

又∵AM∥CC₁,∴DE₁∥CC₁.?

又∵D是BC中点,∴E₁是BC₁中点.?

∴DE₁=12CC₁=12AA₁.?

∴AM=12AA₁.?

∴MA=MA₁.