Question

如图，抛物线C₁：y²=8x与双曲线有公共焦点F₂，点A是曲线C₁，C₂在第一象限的交点，且|AF₂|=5．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）以F₁为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：（x-2）²+y²=1．平面上有点P满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁，l₂，它们分别与圆M，N相交，且直线l₁被圆M截得的弦长与直线l₂被圆N截得的弦长的比为，试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意知双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），设A（x，y）在抛物线C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，由抛物线的定义得，x+2=5，x=3，，，由此可知双曲线的方程．
（Ⅱ）设圆M的方程为：（x+2）²+y²=r²，双曲线的渐近线方程为：，故圆M：（x+2）²+y²=3．由此入手可推导出所有满足条件的点P的坐标．
解答：解：（Ⅰ）∵抛物线C₁：y²=8x的焦点为F₂（2，0），
∴双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），（1分）
设A（x，y）在抛物线C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，
由抛物线的定义得，x+2=5，∴x=3，（2分）
∴y²=8×3，∴，（3分）
∴，（4分）
又∵点A在双曲线上，
由双曲线定义得，2a=|7-5|=2，∴a=1，（5分）
∴双曲线的方程为：．（6分）
（Ⅱ）设圆M的方程为：（x+2）²+y²=r²，
双曲线的渐近线方程为：，
∵圆M与渐近线相切，∴
圆M的半径为，（7分）
故圆M：（x+2）²+y²=3，（8分）
设点P（x，y），则l₁的方程为y-y=k（x-x），
即kx-y-kx+y=0，l₂的方程为，
即x+ky-x-ky=0，
∴点M到直线l₁的距离为，
点N到直线l₂的距离为，
∴直线l₁被圆M截得的弦长，
直线l₂被圆N截得的弦长，（11分）
由题意可得，，
即3（x+ky-2）²=（2k+kx-y）²，
∴①
或②（12分）
由①得：，
∵该方程有无穷多组解，
∴，解得，
点P的坐标为．（13分）
由②得：，
∵该方程有无穷多组解，
∴，解得，
点P的坐标为．
∴满足条件的点P的坐标为或．（14分）
点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．