Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）和g（x）的图象与y轴的交点重合．
（1）求a实数的值
（2）若h（x）=f（x）+b （b为常数）试讨论函数h（x）的奇偶性；
（3）若关于x的不等式f（x）﹣2 ＞a有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：

f（0）=g（0），

即|a|=1，

又∵a＞0，

∴a=1

（2）解：由（1）可知，f（x）=|x﹣1|，

g（x）=x2+2x+1=（x+1）2，

∴h（x）=f（x）+b

=|x﹣1|+b|x+1|，

若h（x）为偶函数，即h（x）=h（﹣x），则有b=1，此时h（2）=4，h（﹣2）=4，

故h（2）≠﹣h（﹣2），即h（x）不为奇函数；

若h（x）为奇函数，即h（x）=﹣h（﹣x），则b=﹣1，此时h（2）=2，h（﹣2）=﹣2，

故h（2）≠h（﹣2），即h（x）不为偶函数；

综上，当且仅当b=1时，函数h（x）为偶函数，且不为奇函数，

当且仅当b=﹣1时，函数h（x）为奇函数，且不为偶函数，

当b≠±1时，函数h（x）既非奇函数又非偶函数

（3）解：关于x的不等式f（x）﹣2 ＞a有解，

即x的不等式|x﹣1|﹣2|x+1|＞a有解

故|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值大于或等于a，

画出函数y=|x﹣1|﹣2|x+1|的图象，如图所示：

由图象可知，|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为2，

∴a＜2

【解析】（1）由题意得：f（0）=g（0），即|a|=1，可得a=1．（2）利用奇偶函数的定义，确定b的值，进而可得函数的奇偶性．（3）关于x的不等式f（x）﹣2 ＞a有解转化为|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值大于或等于a，画出函数画出函数y=|x﹣1|﹣2|x+1|的图象，由图象可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的奇偶性的相关知识，掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．