Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₁₁=66
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=(

1

4

)an．求证：{b_n}是等比数列，并求其前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的通项公式和前n项求和公式，将a₂=2，S₁₁=66分别用基本量表示，求出a₁和d，即可得到通项公式；
（2）利用等比数列的定义，证明

bn

bn-1

是一个常数，从而得到等比数列{b_n}的基本量，运用等比数列的前n项求和公式，即可得到答案．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=a₁+d=2，S11=11a1+

11×10

2

d=66，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=n；
（2）由（1）可知，a_n=n，又b_n=(

1

4

)an，
∴bn=(

1

4

)n，
∴

bn

bn-1

=

( 1 4 )n

( 1 4 )n-1

=

1

4

，
∴数列{b_n}是以b1=

1

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列，
∴数列{b_n}的前n项和Tn=

1 4 (1-( 1 4 )n)

1- 1 4

=

1

3

(1-(

1

4

)n)．

点评：本题考查了等差数列的通项公式求解，等比数列的证明，以及前n项和的求和公式．一般等比数列的证明是使用等比数列的定义，还可以通过等比中项的方法进行证明．等比数列求和公式应用的时候要注意对q的分类讨论．属于中档题．