Question

（2011•延庆县一模）设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一一个x₂∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=c（c为常数）成立，则称函数f（x）在D上“与常数c关联”，现有函数 ①y=

1

x-1

，②y=-x³，③y=(

1

2

)|x|，④y=ln（-x），⑤y=cosx+

1

2

，则其中满足在其定义域上与常数1关联的所有函数是（　　）

A．①②⑤

B．①③

C．②④⑤

D．②④

Answer 1

分析：对各个选项分别加以判断：根据“与常数4关联”的定义，列出方程可以解出x₂关于x₁表达式且情况唯一的选项是②和④
，而①和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得出正确答案．

解答：解：①y=

1

x-1

 的定义域为{x|x≠1}，设x₁≠1，由

1

x1-1

+

1

x2-1

=1，可得 x₂=

2x1-3

x1-2

，
当x₁=2时，x₂不存在，故①y=

1

x-1

在其定义域上不是与常数1关联的函数． 
②y=-x³ 的定义域R，设x₁∈R，由-x₁³-x₂³=1，可得一定存在唯一的一个x₂=

3	-1-x13

=-

3	1-+x13

，
故②y=-x³ 在其定义域上是与常数1关联的函数．
③y=(

1

2

)|x|的定义域为R，设x₁=-1时，满足 (

1

2

)|x1|+(

1

2

)|x2|=1的 x₂ 不存在，
故③y=(

1

2

)|x| 在其定义域上不是与常数1关联的函数．
④y=ln（-x）的定义域为{x|x＜0}，设x₁＜0，由ln（-x₁）+ln（-x₂）=1，可得唯一的x₂=

e

x1

＜0，
故④y=ln（-x）在其定义域上是与常数1关联的函数．
⑤y=cosx+

1

2

明显不成立，因为y=cosx+

1

2

是R上的周期函数，故在其定义域上不是与常数1关联的函数． 
故选 D．

点评：本题着重考查了抽象函数的应用，属于基础题．充分理解各基本初等函数的定义域和值域，是解决本题的关键．