Question

如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD．

(2)求证：AD⊥PB．

(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD 　　又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD． 　　(2)证明：连结PG．∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD． 　　由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG平面PGB，BG平面PGB，∴AD⊥平面PGB 　　∵PB平面PGB，∴AD⊥PB． 　　(3)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．取PC的中点F，连结DE、EF、DF， 　　则由平面几何知识知，在△PBC中，FE∥PB．在菱形ABCD中，GB∥DE． 　　而FE平面DEF，DE平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB． 　　由(1)知，PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB， 　　∴平面PGB⊥平面ABCD．∴平面DEF⊥平面ABCD． 　　∴PC的中点即为所求．

提示：

对于第(1)问，要证直线与平面垂直，已知面PAD⊥面ABCD，只要证明BG与交线AD垂直即可；对第(2)问，由于AD∥BC，故只要证BC⊥PB；第(3)问是开放性的问题，可以选取特殊点，比如说取F为PC的中点来讨论．