Question

9台发动机分别安装在甲、乙、丙3个车间内，每个车间3台，每台发动机正常工作的概率为

1

2

．若一个车间内至少有一台发动机正常工作，则这个车间不需要停产维修，否则需要停产维修．
（1）求甲车间不需要停产维修的概率；
（2）若每个车间维修一次需1万元（每月至多维修一次），用ξ表示每月维修的费用，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）记某台发动机正常工作的事件为A，甲车间3台发动机都出现故障的事件为M，甲车间3台发动机至少有一台能正常工作的事件为N．由此利用对立事件概率公式能求出甲车间不需停产维修的概率．
（2）记ξ表示每月维修的费用，那么ξ可取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）记某台发动机正常工作的事件为A，
甲车间3台发动机都出现故障的事件为M，
甲车间3台发动机至少有一台能正常工作的事件为N．
则P(A)=

1

2

…（1分）
P(M)=(1-P(A))3=(1-

1

2

)2=

1

8

…（3分）
P(N)=1-P(M)=1-

1

8

=

7

8

，
∴甲车间不需停产维修的概率为

7

8

．…（5分）
（2）记ξ表示每月维修的费用，那么ξ可取0，1，2，3（单位：万元） …（6分）
依题意有：P(ξ=0)=(

7

8

)3=

343

512

…（7分）
P(ξ=1)=

C

1 3

×(

1

8

)1×(

7

8

)2=

147

512

…（8分）
P(ξ=2)=

C

2 3

×(

1

8

)2×(

7

8

)1=

21

512

…（9分）
P(ξ=3)=(

1

8

)3=

1

512

…（10分）
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	343 512	147 512	21 512	1 512

ξ的数学期望为：Eξ=0×

343

512

+1×

147

512

+2×

21

512

+3×

1

512

=

192

512

…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．