【题目】已知二次函数f(x)=ax2+2x+c的对称轴为x=1,g(x)=x+ (x>0).
(1)求函数g(x)的最小值及取得最小值时x的值;
(2)试确定c的取值范围,使g(x)﹣f(x)=0至少有一个实根;
(3)若F(x)=﹣f(x)+4x+c,存在实数t,对任意x∈[1,m],使F(x+t)≤3x恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:∵x>0,∴ ,
∴ ,当且仅当 ,即x=1时“=”成立,即g(x)min=2,此时x=1
(2)解:f(x)的对称轴为x=1,
∴a=﹣1,
∴f(x)=﹣x2+2x+c,g(x)﹣f(x)=0至少有一个实根,
∴g(x)=f(x)至少有一个实根,
即g(x)与f(x)的图象在(0,+∞)上至少有一个交点,f(x)=﹣(x﹣1)2+1+c,
∴f(x)max=1+c,g(x)min=2,
∴1+c≥2,∴c≥1,
∴c的取值范围为[1,+∞)
(3)解:F(x)=x2﹣2x﹣c+4x+c=x2+2x,
∴F(x+t)=(x+t)2+2(x+t),
由已知存在实数t,对任意x∈[1,m],使(x+t)2+2(x+t)≤3x恒成立.
∴x2+(2t﹣1)x+t2+2t≤0.
令h(x)=x2+(2t﹣1)x+t2+2t,
∴ ,即 ,
转化为存在t∈[﹣4,0],使t2+(2m+2)t+m2﹣m≤0成立.
令G(t)=t2+(2m+2)t+m2﹣m,
∴G(t)的对称轴为t=﹣(m+1),
∵m>1,
∴﹣(m+1)<﹣2.
①当﹣4<﹣(m+1)<﹣2,即1<m<3时,
,
∴ ,
∴1<m<3.
②当﹣(m+1)≤﹣4,即m≥3时,
,
∴ ,
∴ ,
∴3≤m≤8.
综上,实数m的取值范围为(1,8]
【解析】(1)根据基本不等式即可求出函数的最值;(2)根据对称轴求出a=﹣1,分别求出f(x)max=1+c,g(x)min=2,即1+c≥2,解得即;(3)把f(x+t)≤3x转化为(x+t)2+2(x+t)≤3x,即h(x)=x2+(2t﹣1)x+t2+2t,在x∈[1,m]恒小于0问题,考查h(x)的图象与性质,求出m的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减.
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【题目】已知抛物线,圆,点为抛物线上的动点, 为坐标原点,线段的中点的轨迹为曲线.
(1)求抛物线的方程;
(2)点是曲线上的点,过点作圆的两条切线,分别与轴交于两点.
求面积的最小值.
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【题目】设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn , 满足4Sn=an+12﹣4n﹣1,n∈N* , 且a2 , a5 , a14构成等比数列.
(1)证明:a2= ;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有 .
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【题目】若Sn=cos +cos +…+cos (n∈N+),则在S1 , S2 , …,S2015中,正数的个数是( )
A.882
B.756
C.750
D.378
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【题目】已知c>0,设命题p:函数y=cx为减函数.命题q:当x∈[ ,2]时,函数f(x)=x+ > 恒成立.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,则c的取值范围是 .
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