Question

在平面直角坐标上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n，y_n）…，对一切正整数n，点P_n在函数
y=3x+的图象上，且P_n的横坐标构成以-为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（Ⅰ）求点P_n的坐标；
（Ⅱ）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C_n的顶点为P_n，且过点D_n（0，n²+1），记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为K_n，求++…+的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据等差数列的通项公式可求得x_n，进而代入直线方程求得y_n，则点P的坐标可得．
（II）先设出C_n的方程，把D点代入求得a，进而对函数进行求得求得切线的斜率，即k_n的表达式，进而用裂项法求得
解答：解：（1）∵，
∴．
∴．
（2）∵C_n的对称轴垂直于x轴，且顶点为P_n，
∴设C_n的方程为 ．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程为y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴，
∴=
=．
点评：求数列的前n项和的问题，一般先求出数列的通项公式，根据通项公式的特点，选择合适的求和方法．常见的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法．