Question

19．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosx，sinx）x∈R．
（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，且x∈[0，2π），求x的值；
（2）设函数f（x）=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$，求f（x）的最大值，并求使f（x）取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）由向量模的公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值；
（2）运用向量的数量积的坐标表示，化简整理再由两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求最大值和x的值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
即为$\sqrt{（3-cosx）^{2}+si{n}^{2}x}$=$\sqrt{co{s}^{2}x+（3-sinx）^{2}}$，
化简可得，cosx=sinx，
即tanx=1，且x∈[0，2π），
则x=$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{4}$；
（2）函数f（x）=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$
=（cosx-3）cosx+（sinx-3）sinx
=1-3（sinx+cosx）
=1-3$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
当x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z时，
f（x）取得最大值，且为1+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和模的公式，考查两角和的正弦公式及正弦函数的值域，属于中档题．