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已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x).
(Ⅰ)求值:数学公式
(Ⅱ)判断函数的单调性并用定义证明.

解:(1)(2分)
又f(-x)=lg(1+x)-lg(1-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数,
. (6分)
(2)设-1<x1<x2<1,

∵(1-x1)(1+x2)-(1+x1)(1-x2)=2(x2-x1)>0
又(1-x1)(1+x2)>0,(1+x1)(1-x2)>0

从而f(x1)>f(x2)故f(x)在(-1,1)上为减函数. (12分)
分析:(1)先证明f(x)为奇函数,即证f(-x=-f(x),再将看成一个整体,利用函数的奇偶性即可得出结果;
(2)先设-1<x1<x2<1,再利用作差f(x1)-(x2),考查其结果与0比较,如果f(x1)-(x2)>0,
即可得原函数在(-1,1)上为减函数.否则是增函数.
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的单调性与特殊点、对数的运算等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
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2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函数f(x)图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得点M处的切线l∥AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当x0=
x1+x2
2
时,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:当x≥e时,对于函数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.

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1
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3
x
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3
(a-1)
x
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6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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