Question

【题目】已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，利用抛物线的方程，求解，即可得到抛物线的方程；

（2）设直线：，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，，再由得，即可得到结论．

（1）设，两点的坐标分别为，，

则，，两式相减得.

即，

又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，∴，∴.

即抛物线的标准方程为.

（2）设直线：与抛物线：交于点，，

则，

，∴，

∴，，

由得，即，，

直线为，∴过定点.