Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P-CD-B为45°．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；
（3）设AD=2，CD=2

2

，求点A到平面PEC的距离．

Answer 1

分析：（1）关键是证明AF与平面PEC内的一条直线平行，为此可取PC的中点G，论证AF∥EG；
（2）可转化为证明线面垂直；（3）可转化为求点F到平面PEC的距离，进而可以充分运用（2）的结论．

解答：解：（1）证明：取PC的中点G，连接EG、FG．
∵F是PD的中点，∴FG∥CD且FG=

1

2

CD．而AE∥CD且AE=

1

2

CD，
∴EA∥GF且EA=GF，故四边形EGFA是平行四边形，从而EG∥AF．
又AF?平面PEC，EG?平面PEC，∴AF∥平面PEC．

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影．
又CD⊥AD，∴CD⊥PD，∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角．
∴∠ADP=45°，则AF⊥PD．
又AF⊥CD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD．
由（1），EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，
而EG?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．

（3）解：过F作FH⊥PC交PC于点H，
又平面PEC⊥平面PCD，则FH⊥平面PEC，
∴FH为点F到平面PEC的距离，而AF∥平面PEC，
故FH等于点A到平面PEC的距离．
在△PFH与△PCD中，
∵∠FHP=∠CDP=90°，∠FPC为公共角，
∴△PFH∽△PCD，

FH

CD

=

PF

PC

．
∵AD=2，CD=2

2

，PF=

2

，PC=

CD2+PD2

=4，∴FH=

2

4

•2

2

=1．
∴点A到平面PEC的距离为1．

点评：本题主要考查线面平行、线面垂直、面面垂直间的相互转化．考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．