【题目】已知点 ,圆: ,过的动直线与⊙交两点,线段中点为, 为坐标原点。
(1)求点的轨迹方程;
(2)当时,求直线的方程以及△面积。
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)直线的方程为3x-y-8=0,△面积是
【解析】试题分析:(Ⅰ)圆C的方程可化为(x-4)2+y2=16,由此能求出圆心为C(4,0),半径为4,设M(x,y),求出向量CM,MP的坐标,由运用向量的数量积的坐标表示,化简整理求出M的轨迹方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知M的轨迹是以点N(3,-1)为圆心, 为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,可得ON⊥PM,由直线垂直的条件:斜率之积为-1,再由点斜式方程可得直线l的方程.利用点到直线距离公式结合已知条件能求出△POM的面积
试题解析:
(Ⅰ)圆C的方程可化为: ,所以圆心C(4,0)半径为4。
设M(x,y),则(x-4,y),则由条件知,
故(x-4)(2-x)+y(2-y)=0,即。由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是。
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M的轨迹是以点N(3,-1)为圆心,以为半径的圆。又,故O在线段PM的垂直平分线上,显然P在圆N上,从而ON⊥PM。KON=,所以直线的斜率为3,故直线的方程为3x-y-8=0.又=,O到的距离为,由勾股定理可得|PM|=,所以△面积是。
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆Γ:+y2=1的一个焦点重合,点M(x0,2)在抛物线上,过焦点F的直线l交抛物线于A,B两点.
(Ⅰ)求抛物线C的方程以及|MF|的值;
(Ⅱ)记抛物线C的准线与x轴交于点H,试问是否存在常数λ∈R,使得且|HA|2+|HB|2=都成立?若存在,求出实数λ的值; 若不存在,请说明理由.
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【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到表格:(单位:人)
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?
(2)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
(i)分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
(ii)从这5人中,再随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】(2017·南充调研)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i-1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i=2,3,4),L1=AE,将线段L1,L2,L3,L4竖立放置在同一水平线上,则大致的图形是( )
A. B.
C. D.
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【题目】小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误,则手机被锁定,5分钟后,方可重新输入.
某日,小明忘记了开机密码,但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一,于是,他
决定逐个(不重复)进行尝试.
(1)求手机被锁定的概率;
(2)设第次输入后能成功开机,求的分布列和数学期望.
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