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    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD, ，,AD=AB=1,AC 和 BD 交于O点.

    (I)求证：平面PBD丄平面PAC.

    (II)当点A在平面PBD内的射影G恰好是ΔPBD的重心时，求二面角B-PD-A的余弦值.

     

     

    【答案】

    （Ⅰ）见解析；(II) .

    【解析】

    试题分析：（Ⅰ）利用条件证明，，即可证平面平面；(II) 过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间坐标系，得各点坐标，设，利用，先求出的值，再分别求面和面的法向量，从而可得结论.

    试题解析：（Ⅰ）依题意，，，所以，  2分

    而面，，又，∴面，又面，

    ∴平面平面.    4分

    （Ⅱ）

    过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立如图所示坐标系，则 ，，,设，所以， ，

    由，得

    解得，.      6分

    ∴P点的坐标为；

    面的一个法向量为，     8分

    设面的一个法向量为，，

    即，∴ ，       10分

     ，

    所以二面角的余弦值为．     12分

    考点：1、面面垂直的判定定理；2、利用空间向量求二面角.

     

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    精英家教网如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
    		2
    ，∠PAB=60°．
    （1）证明AD⊥PB；
    （2）求二面角P-BD-A的正切值大小．

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    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，点A在PD上的射影为点G，点E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
    （1）求证：AG∥平面PEC；
    （2）求AE的长；
    （3）求二面角E-PC-A的正弦值．

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    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
    （Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC．
    （Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积V．

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    如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E为PB中点
    （1）求证；平面ACE⊥面ABCD；
    （2）求三棱锥P-EDC的体积．

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    （2008•武汉模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．
    （1）求二面角P-CD-A的平面角正切值，
    （2）求A到面PCD的距离．

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