Question

正三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，已知AB=2

3

，PA=4，则此球的表面积等于

64π

3

．

Answer 1

分析：设P-ABC的外接球心为O，则O在高PH上，延长AH交BC于D点，则D为BC中点，连接OA．等边三角形ABC中，求出AH=

3

3

AB=2，然后在Rt△PAH中，利用勾股定理求出PH=2

3

，最后在Rt△AOH中，根据勾股定理建立关于外接球半径R的方程并解之得R=

4 3

3

，用球的表面积公式可得P-ABC的外接球的表面积．

解答：解：设P-ABC的外接球球心为O，则O在高PH上，延长AH交BC于D点，则D为BC中点，连接OA，
∵等边三角形ABC中，H为中心
∴AH=

2

3

AD=

2

3

•

3

2

AB=

3

3

•2

3

=2
∴Rt△PAH中，PH=

PA2-AH2

=2

3

设外接球半径OA=R，则OH=2

3

-R
在Rt△AOH中，根据勾股定理得：OH²+AH²=OA²，即（2

3

-R）²+2²=R²，解之得R=

4 3

3

∴P-ABC的外接球的表面积为：S=4πR²=

64π

3

故答案为：

64π

3

点评：本题给出正三棱锥的底面边长和侧棱长，求它的外接球表面积，着重考查了正三棱锥的性质和球内接多面体等知识，属于中档题．