Question

在直角坐标系中，定义两点P（x₁，y_l），Q（x₂，y₂）之间的“直角距离为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
现有以下命题：
①若P，Q是x轴上两点，则d（P，Q）=|x₁-x₂|；
②已知两点P（2，3），Q（sin²α，cos²α），则d（P，Q）为定值；
③原点O到直线x-y+l=0上任意一点P的直角距离d（O，P）的最小值为

2

2

；
④若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥

2

2

d（P，Q）；
其中为真命题的是

 

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据绝对值的性质进行判定即可．

解答： 解：①若P，Q是x轴上两点，则y₁=y₂=0，所以d（P，Q）=|x₁-x₂|，正确；
②已知P（2，3），Q（sin²α，cos²α）（a∈R），则d（P，Q）=|2-sin²α|+|3-cos²α|=1+cos²α+2+sin²α=4为定值，正确；
③设P（x，y），O（0，0），则d（0，P）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示数轴上的x到1和0的距离之和，其最小值为1，故不正确；
④若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，因为2（a²+b²）≥（a+b）²，所以|PQ|≥2

2

d（P，Q），正确；．
故答案为：①②④．

点评：本题考查两点之间的“直角距离”的定义，绝对值的意义，关键是明确P（x₁，y₁）、Q（x₂，y_2）两点之间的“直角距离”的含义．