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如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图,四周的实线为网衣,为避免混养,用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱.
(1)若大网箱的面积为108平方米,每个小网箱的长x,宽y设计为多少米时,才能使围成的网箱中筛网总长度最小;
(2)若大网箱的面积为160平方米,网衣的造价为112元/米,筛网的造价为96元/米,且大网箱的长与宽都不超过15米,则小网箱的长、宽为多少米量,可使总造价最低?

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(1)设小网箱的长、宽分别为x米、y米,筛网总长度为S,
依题意4x?2y=108,即xy=
27
2
,S=4x+6y,
因为4x+6y=2(2x+3y)≥4
6xy
=36
,所以S≥36,
当且仅当2x=3y时,等号成立,
解方程组
2x=3y
xy=
27
2
x=4.5
y=3.

即每个小网箱的长与宽分别为与4.5米与3米时,网箱中筛网的总长度最小.
(2)设总造价为W元,则由4x?2y=160,得xy=20,
因为4x≤15,2y≤15,所以x≤
15
4
,y≤
15
2
y=
20
x
15
2
,∴
8
3
≤x≤
15
4
W=(8x+4y)?112+(4x+6y)?96=(8x+4×
20
x
)?112+(4x+6×
20
x
)?96
=1280(x+
16
x
)

求导,可得W(x)在[
8
3
15
4
]
上单调递减,所以当x=
15
4
时,W最小,此时x=
15
4
y=
16
3

即当小网箱的长与宽分别为
15
4
米与
16
3
米时,可使总造价最低.
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