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抛物线的顶点在原点,焦点在射线x-y+1=0(x≥0)上
(1)求抛物线的标准方程
(2)过(1)中抛物线的焦点F作动弦AB,过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,求点M的轨迹方程,并求出
FC
FD
FM
2
的值.
分析:(1)先射线x-y+1=0(x≥0)与坐标轴的交点解得焦点坐标,根据抛物线的焦点坐标,求出抛物线的标准方程.
(2)设AB的直线方程y=kx+1,将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用向量数量积的坐标运算公式即可求出
FC
FD
FM
2
的值,从而解决问题.
解答:解:(1)∵是标准方程,∴其焦点应该在坐标轴上,
∴令x=0,代入射线x-y+1=0,解得其焦点坐标为(0,1)
当焦点为(0,1)时,可知P=2,∴其方程为x2=4y.
(2)设A(x1
x
2
1
4
)
B(x2
x2
4
2
)

过抛物线A,B两点的切线方程分别是y=
x1
2
x-
1
4
x12
y=
x2
2
x-
x2
4
2

其交点坐标M(
x1+x2
2
y1+y2
2
)

设AB的直线方程y=kx+1代入x2=4y,得x2-4kx-4=0
x1x2=-4,M(
x1+x2
2
,-1),所以点M的轨迹为y=-1

FC
=(x1
x
2
1
4
-1),
FD
=(x2
x
2
2
4
-1)

FC
FD
=x1x2+(
x
2
1
4
-1)(
x
2
2
4
-1)=-
1
4
(
x
2
1
+
x
2
2
)-2

FM2
=(
x1+x2
2
-0)2+(-1-1)2=
1
4
(
x
2
1
+
x
2
2
)+2

FC
FD
FM
2
=-1
点评:本题主要考查平面向量数量积的运算、抛物线的标准方程.抛物线的标准方程的焦点一定在坐标轴上且定点一定在原点,即先确定焦点的坐标再求出标准方程.
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3
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