Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题
（1）函数f（x）=x³-x²+3x-的对称中心为    ；
（2）计算+…+f（）=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）=x³-x²+3x-的对称中心．
（2）由f（x）=x³-x²+3x-的对称中心为（，1），知f（x）+f（1-x）=2，由此能够求出+…+f（）．
解答：解：（1）∵f（x）=x³-x²+3x-，
∴f′（x）=x²-x+3，f''（x）=2x-1，
令f''（x）=2x-1=0，得x=，
∵f（）=+3×=1，
∴f（x）=x³-x²+3x-的对称中心为（，1），
（2）∵f（x）=x³-x²+3x-的对称中心为（，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴+…+f（）=2×1006=2012．
故答案为：（，1），2012．
点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．