【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1(侧棱垂直于底面的棱柱)中,CA⊥CB,CA=CB=CC1=2,动点D在线段AB上.
(1)求证:当点D为AB的中点时,平面B1CD⊥上平面ABB1A1;
(2)当AB=3AD时,求平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)推导出,,平面,由此能证明平面上平面.(2),,两两垂直,以为原点,,,所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
(1)∵在等腰Rt△ABC中,D为斜边AB的中点,∴CD⊥AB,
又∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,B1B⊥平面ABC,CD平面ABC,
∴B1B⊥CD,∵AB∩B1B=B,∴CD⊥平面ABB1A1,
又CD平面B1CD,∴平面B1CD⊥上平面ABB1A1.
(2)如图,∵CA,CB,CC1两两垂直,
∴以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),B1(0,2,2),D,
(0,2,2),,
设平面B1CD的法向量=(x,y,z),则,令z=1,得,
平面BB1C1C的法向量=(2,0,0),
设平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的平面角为θ,
则cosθ= ,
∴平面B1CD与平面BB1C1C所成的锐二面角的余弦值为.
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【题目】已知椭圆过点,是该椭圆的左、右焦点,是上顶点,且是等腰直角三角形.
(1)求的方程;
(2)已知是坐标原点,直线与椭圆相交于两点,点在上且满足四边形是一个平行四边形,求的最大值.
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【题目】已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)离心率为,其短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,A为椭圆C的左顶点,P,Q为椭圆C上两动点,直线PO交AQ于E,直线QO交AP于D,直线OP与直线OQ的斜率分别为k1,k2,且k1k2=,(λ,μ为非零实数),求λ2+μ2的值.
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【题目】《山东省高考改革试点方案》规定:从年高考开始,高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为八个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则分别转换到八个分数区间,得到考生的等级成绩.
某校级学生共人,以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩,为学生合理选科提供依据,其中物理成绩获得等级的学生原始成绩统计如下
成绩 | 93 | 91 | 90 | 88 | 87 | 86 | 85 | 84 | 83 | 82 |
人数 | 1 | 1 | 4 | 2 | 4 | 3 | 3 | 3 | 2 | 7 |
(1)从物理成绩获得等级的学生中任取名,求恰好有名同学的等级分数不小于的概率;
(2)待到本级学生高考结束后,从全省考生中不放回的随机抽取学生,直到抽到名同学的物理高考成绩等级为或结束(最多抽取人),设抽取的学生个数为,求随机变量的数学期望(注: ).
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【题目】如图是函数的部分图象,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象,给出下列四个命题:
①函数f(x)的表达式为;
②g(x)的一条对称轴的方程可以为;
③对于实数m,恒有;
④f(x)+g(x)的最大值为2.其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,整个图形是一个圆形,其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆.给出以下命题:①在太极图中随机取一点,此点取自黑色阴影部分的概率是;②当时,直线与黑色阴影部分有公共点;③当时,直线与黑色阴影部分有两个公共点.其中所有正确结论的序号是( )
A.①B.①②C.①③D.①②③
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【题目】[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|2x﹣1|+|x+1|,g(x)=|x﹣a|+|x+a|.
(Ⅰ)解不等式f(x)>9;
(Ⅱ)x1∈R,x2∈R,使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围。
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,求m的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,,,,为中点.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在点,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
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