Question

7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？
（1）7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；
（2）任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．

Answer 1

分析：（1）把最高的学生排在正中间，再从剩余的6人中，任选三人，按照从低到高的顺序排在前3位上，有

C

3 6

中方法，剩余的3人按照从高到低的顺序排在后三位上，只有一种方法，
根据分布计数原理，得出结论．
（2）第一步：先任取6名学生；第二步：则先任取2个人，排成一列，使矮的在后边；第三步：再从剩余的4人中任取2个人，排成一列，使矮的在后边；第四步：最后剩余的2个人，排成一列，使矮的在后边．求出每一步的方法数，相乘即得所求．

解答：解：（1）把最高的学生排在正中间，再从剩余的6人中，任选三人，按照从低到高的顺序排在前3位上，有

C

3 6

中方法；
剩余的3人按照从高到低的顺序排在后三位上，只有

C

3 3

=1种方法，故共有

C

3 6

•

C

3 3

=20种方法．
（2）第一步：任取6名学生，有

C

6 7

种方法，因为要排成二排，使每一列的前排学生比后排学生矮，
第二步：则先任取2个人，排成一列，使矮的在后边，有

C

2 6

种方法；
第三步：再从剩余的4人中任取2个人，排成一列，使矮的在后边，有

C

2 4

种方法；
第四步：最后剩余的2个人，排成一列，使矮的在后边，有

C

2 2

种方法．
根据分步计数原理，所有的排列方法共有

C

6 7

•

C

2 6

•

C

2 4

•

C

2 2

=630种方法．

点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．