Question

过双曲线C：x2-

y2

3

=1的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，

OM

=

OP

+

OQ

，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：先看当l的斜率存在时，设出P，Q，M的坐标，进而可求得PQ的中点的坐标，把P，Q代入双曲线方程，联立可求得

y2-y1

x2-x1

即直线PQ的斜率，又根据F，N的坐标可表示出直线FN的斜率，二者相等进而求得x和y的关系式，即点M的轨迹方程．

解答：解．：当l垂直于x轴时M（-4，0），当l斜率存在时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y）．PQ的中点N（

x

2

，

y

2

）
由

x 2 1 - y 2 1 3 =1 x 2 2 - y 2 2 3 =1

⇒

y2-y1

x2-x1

=-

3x

y

=kPQ．又kPQ=kFN=

y

x-4

，
∴-

3x

y

=

y

x-4

，得M点的轨迹方程是

(x+2)2

4

-

y2

12

=1，M（-4，0）也符合．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解此类题要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．