Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-2）²+（y-b）²=10，且圆C被x轴截得的弦长为2，
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C的圆心在第一象限且直线y=kx+3（k＞0）与圆C相交于A，B两点，求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可令y=0，解得x，可得弦长，解方程可得b，进而得到圆方程；
（2）将直线y=kx+3（k＞0）和圆C：（x-2）²+（y-3）²=10联立，可得x的方程，运用判别式大于0，韦达定理及向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合基本不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）圆C：（x-2）²+（y-b）²=10，且圆C被x轴截得的弦长为2，
可令y=0，解得x=2±$\sqrt{10-{b}^{2}}$，
可得2$\sqrt{10-{b}^{2}}$=2，解得b=±3，
可得圆C的方程为：（x-2）²+（y±3）²=10；
（2）由题意可得圆C：（x-2）²+（y-3）²=10，
将直线y=kx+3代入圆方程，可得（1+k²）x²-4x-6=0，
△=16+24（1+k²）＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{6}{1+{k}^{2}}$，
因此y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）
=k²x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=-$\frac{6{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{12k}{1+{k}^{2}}$+9=$\frac{3{k}^{2}+12k+9}{1+{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{6}{1+{k}^{2}}$+$\frac{3{k}^{2}+12k+9}{1+{k}^{2}}$
=$\frac{3{k}^{2}+12k+3}{1+{k}^{2}}$=3+$\frac{12k}{1+{k}^{2}}$=3+$\frac{12}{k+\frac{1}{k}}$
≤3+$\frac{12}{2\sqrt{k•\frac{1}{k}}}$=9．
当且仅当k=1取得最大值9．
则$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范围是（3，9]．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，注意联立方程，运用韦达定理，同时考查向量数量积的坐标表示，以及运用基本不等式求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．