Question

函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f(x)=

x2+x+4

x

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先由奇偶性寻求f（-x）与f（x）的关系，再设x＜0，则-x＞0，按照求函数值求解；
（2）用导数判断单调性，确定单调区间求得值域．

解答：解：（1）∵f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，
∴f（-x）=f（x）（1分）
设x＜0，则-x＞0，f（-x）=

(-x)2+(-x)+4

-x

=

x2-x+4

-x

∴f(x)=-

x2-x+4

x

（3分）
∴f(x)=

x2+x+4 x        (x＞0) - x2-x+4 x     (x＜0)

（4分）
（2）当x＞0时，f(x)=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，f′(x)=1-

4

x2

（6分）
令f'（x）=0?x=2
∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，
x∈（2，+∞）时，f'（0）＞0，f（x）是增函数，（8分）
且函数f（x）在此区间上有极小值y_极小=f（2）=5
又f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称
∴x＜0时，f（x）的增区间为（-2，0），减区间为（-∞，-2）（10分）
综上所述，f（x）在区间（-∞，-2）和（0，2）上是减函数
在区间（-2，0）和（2，+∞）上是增函数，值域为f（x）∈[5，+∞）（12分）

点评：本题主要考查奇偶性求对称区间上的解析式和求值域或最值时要先研究函数的单调性的解题习惯．