Question

【题目】设函数f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=cosx．
（1）若函数 在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围；
（2）设函数φ（x）=f（x）+g（x），若对任意的 ，都有φ（x）≥0，求m的取值范围；
（3）设m＞0，点P（x0 ， y0）是函数f（x）与g（x）的一个交点，且函数f（x）与g（x）在点P处的切线互相垂直，求证：存在唯一的x0满足题意，且 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，知 ，所以 ．

由题意， ，即 对x∈（1，+∞）恒成立．

又当x∈（1，+∞）时， ，所以m≥1

（2）解：因为φ（x）=f（x）+g（x）=mlnx+cosx，所以 ．

①当m≤0时，因为 ，所以lnx＞0，cosx＜0，故φ（x）＜0，不合题意．

②当m＞0时，因为 ，所以φ'（x）＞0，故φ（x）在 上单调递增．

欲φ（x）≥0对任意的 都成立，则需φ（π）≥0，所以mlnπ+cosπ≥0，解得 ．

综上所述，m的取值范围是

（3）解：证明：因为 ，g'（x）=﹣sinx，且函数f（x）与g（x）在点P（x0，y0）处的切线互相垂直，

所以 ，即msinx0=x0（*）．

又点P（x0，y0）是函数f（x）与g（x）的一个交点，所以mlnx0=cosx0（**）．

由（*）（**）消去m，得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0．

①当x0∈（0，1]时，因为m＞0，所以mlnx0≤0，且cosx0＞0，此与（**）式矛盾．

所以在（0，1]上没有x0适合题意

②当x0∈（1，+∞）时，设r（x）=xlnx﹣sinxcosx，x∈（1，+∞）．

则r'（x）=lnx+1﹣cos2x＞0，即函数r（x）在（1，+∞）上单调递增，

所以函数r（x）在（1，+∞）上至多有一个零点．

因为r（1）=ln1﹣sin1cos1=﹣sin1cos1＜0， ，

且r（x）的图象在（1，+∞）上不间断，所以函数r（x）在 有唯一零点．

即只有唯一的x0∈（1，+∞），使得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0成立，且 ．

综上所述，存在唯一的x0∈（0，+∞），且

【解析】（1）根据求导研究函数的单调性令 h ' ( x ) ≥ 0，即得m的取值范围 。（2）利用求导函数讨论导函数正负进而得到函数的单调性。（3）利用求导函数以及函数f（x）与g（x）在点P处的切线互相垂直，得到msinx0=x0；又点P（x0，y0）是函数f（x）与g（x）的一个交点，得到mlnx0=cosx0，进而得到x0lnx0﹣sinx0cosx0=0．对x0分情况讨论，当x0∈（0，1]时，在（0，1]上没有x0适合题意。当x0∈（1，+∞）时函数r（x）在（1，+∞）上至多有一个零点，再根据零点定理可得，函数r（x）有唯一零点，即得结果。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．