Question

设函数.
（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.

Answer 1

（1）2；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）.

试题分析：（1）当时，，易得函数的定义域为，求出导函数，利用判定函数在定义区间内的单调性，并求出的极小值；
（2）由函数，令，得，
设，由求出函数的单调性以及极值，并且求出函数在的零点，画出的大致图像，并从图像中，可以得知，当在不同范围的时候，函数和函数的交点个数
（3）对任意恒成立，等价于恒成立，则在上单调递减，即在恒成立，
求出的取值范围.
试题解析：（1）当时，
易得函数的定义域为

当时，，此时在上是减函数；
当时，，此时在上是增函数；
当时，取得极小值
(2)函数
令，得
设

当时，，此时在上式增函数；
当时，，此时在上式增函数；
当时，取极大值
令，即，解得，或
函数的图像如图所示：

由图知：
当时，函数和函数无交点；
②当时，函数和函数有且仅有一个交点；
③当时，函数和函数有两个交点；
④时，函数和函数有且仅有一个交点；
综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.
对任意恒成立
等价于恒成立
设
在上单调递减
在恒成立


当且仅当当时，
的取值范围是