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函数f(x)是定义在[0,1]上的函数,满足f(x)=2f(
x
2
)
,且f(1)=1,在每一个区间(
1
2i
 , 
1
2i-1
]
(i=1,2,3,…)上,y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分,记直线x=
1
2n
x=
1
2n-1
,x轴及函数y=f(x)的图象围成的梯形面积为an(n=1,2,3,…),则数列{an}的通项公式为
an=
4-k
22n+1
an=
4-k
22n+1
分析:先根据f(0)=2f(0),求出f(0)及f(1)的值,归纳总结得f(
1
2i
)=
1
2i
,然后当
1
2i
<x≤
1
2i-1
f(x)=
1
2i-1
+k(x-
1
2i-1
)
ai=
1
2
[
1
2i-1
+
1
2i-1
+k(
1
2i
-
1
2i-1
)](
1
2i-1
-
1
2i
)
=(1-
k
4
)
1
22i-1
(i=1,2,)
所以{an}是首项为
1
2
(1-
k
4
)
,公比为
1
4
的等比数列,从而求出an
解答:解:由f(0)=2f(0),得f(0)=0
f(1)=2f(
1
2
)
及f(1)=1,得 f(
1
2
)=
1
2
f(1)=
1
2

同理,f(
1
4
)=
1
2
f(
1
2
)=
1
4

归纳得 f(
1
2i
)=
1
2i
(i=1,2,)

1
2i
<x≤
1
2i-1
f(x)=
1
2i-1
+k(x-
1
2i-1
)
ai=
1
2
[
1
2i-1
+
1
2i-1
+k(
1
2i
-
1
2i-1
)](
1
2i-1
-
1
2i
)
=(1-
k
4
)
1
22i-1
(i=1,2,)

所以{an}是首项为
1
2
(1-
k
4
)
,公比为
1
4
的等比数列
an=
4-k
22n+1

故答案为:an=
4-k
22n+1
点评:本小题主要考查函数、数列等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题,有一定的难度.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为3,且x∈(-
3
2
,0)时
,f(x)=log2(-3x+1),则f(2011)=(  )
A、-2
B、2
C、4
D、log27

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)是定义在N*的函数,且满足f(f(k))=3k,f(1)=2,设an=f(3n-1),b1=1,bn-log3f(an)=b1-log3f(a1).
(I)求bn的表达式;
(II)求证:
b1
f(a1)
+
b2
f(a2) 
+…+
bn
f(an)
3
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

奇函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)+f(1-2x)<0,则实数x的取值范围为
(0,1]
(0,1]

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•临沂二模)已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈[-e,0)时,f(x)=ax-ln(-x),(a<0,a∈R)
(I)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得当x∈(0,e]时f(x)的最大值是-3,如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

注:此题选A题考生做①②小题,选B题考生做①③小题.
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时有f(x)=
4xx+4

①求f(x)的解析式;
②(选A题考生做)求f(x)的值域;
③(选B题考生做)若f(2m+1)+f(m2-2m-4)>0,求m的取值范围.

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