Question

已知A、B分别是直线y=

3

3

x和y=-

3

3

x上的两个动点，线段AB的长为2

3

，D是AB的中点．
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）过点N（1，0）作与x轴不垂直的直线l，交曲线C于P、Q两点，若在线段ON上存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设出D与A，B的坐标，用中点坐标公式把点D表示出来，再代入弦长公式即可得动点D的轨迹C的方程；
（2）把直线方程与轨迹C的方程联立求出与P、Q两点的坐标有关的等量关系，进而求出PQ的中点坐标，再利用菱形的对角线互相垂直即可求出m的取值范围．

解答：解：（1）设D(x，y)，A(x1，

3

3

x1)，B(x2，-

3

3

x2)．
∵D是线段AB的中点，∴x=

x1+x2

2

，y=

3

3

•

x1-x2

2

．（2分）
∵|AB|=2

3

，∴(x1-x2)2+(

3

3

x1+

3

3

x2)2=12，
∴(2

3

y)2+(

3

3

×2x)2=12．
化简得点D的轨迹C的方程为

x2

9

+y2=1．（5分）
（2）设l：y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆

x2

9

+y2=1，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，∴x1+x2=

18k2

1+9k2

，∴y1+y2=

-2k

1+9k2

．（7分）
∴PQ中点H的坐标为(

9k2

1+9k2

，

-k

1+9k2

)．
∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，∴k_MH•k=-1，
∴

-k 1+9k2

9k2 1+9k2 -m

•k=-1，即m=

8k2

1+9k2

．（9分）
∵k≠0，∴0＜m＜

8

9

．（11分）
又点M（m，0）在线段ON上，∴0＜m＜1．
综上，0＜m＜

8

9

．（12分）

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识．