Question

8．已知抛物线y²=2x，两点M（1，0），N（3，0）．
（Ⅰ）求点M到抛物线准线的距离；
（Ⅱ）过点M的直线l交抛物线于两点A，B，若抛物线上存在一点R，使得A，B，N，R四点构成平行四边形，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线的性质，即可求出点M到抛物线准线的距离，
（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y^2}=2x\end{array}\right.$，利用韦达定理，分类讨论，即可求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知，抛物线y²=2x的准线方程为$x=-\frac{1}{2}$．
所以，点M到抛物线准线的距离为$|{1-（-\frac{1}{2}）}|=\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y^2}=2x\end{array}\right.$得k²x²-（2k²+2）x+k²=0，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+2}}{k^2}$，x₁x₂=1．
①N，R在直线AB异侧，A，B，N，R四点构成平行四边形，则AB，NR互相平分．
所以，x₁+x₂=x_R+x_N，y₁+y₂=y_R+y_N，
所以，$\frac{{2{k^2}+2}}{k^2}={x_R}+3$，${x_R}=\frac{{2-{k^2}}}{k^2}$.${y_R}={y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}-2）=\frac{2}{k}$．
将（x_R，y_R）代入抛物线方程，得$y_R^2=2{x_R}$，即$\frac{4}{k^2}=2×\frac{{2-{k^2}}}{k^2}$，
解得k=0，不符合题意．
②若N，R在直线AB同侧，A，B，N，R四点构成平行四边形，则AR，BN互相平分．
所以，x₁+x_R=x₂+x_N，y₁+y_R=y₂+y_N，
所以，x_R=x₂-x₁+3，y_R=y₂-y₁．
代入抛物线方程，得${（{y_2}-{y_1}）^2}=2（{x_2}-{x_1}+3）$，又$y_1^2=2{x_1}$，$y_2^2=2{x_2}$，
所以${（{y_2}-{y_1}）^2}=2（\frac{y_2^2}{2}-\frac{y_1^2}{2}+3）$，注意到${y_2}{y_1}=-2\sqrt{{x_1}{x_2}}=-2$，
解得$y_1^2=1$，y₁=±1．
当y₁=1时，${x_1}=\frac{1}{2}$，k=-2；当y₁=-1时，${x_1}=\frac{1}{2}$，k=2．
所以k=±2．

点评 本题考查了抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的关系，考查了学生的运算能力和分类讨论的能力，属于中档题．