Question

已知

i

和

j

是两个互相垂直的单位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，且

a

与

b

的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

(-∞，-2)∪(-2，

1

2

)

．

Answer 1

分析：若

a

与

b

的夹角为锐角，则

a

•

b

＞0，根据已知中

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，且

i

和

j

是两个互相垂直的单位向量，我们易求出

a

•

b

的表达式，进而构造一个关于λ的不等式，解不等式并讨论

a

与

b

同向时，λ的取值，即可得到答案．

解答：解：∵

i

和

j

是两个互相垂直的单位向量
∴

i

•

i

=1，

j

•

j

=1，

i

•

j

=0
又∵

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，

a

与

b

的夹角为锐角
∴

a

•

b

=（

i

•

i

）-2λ（

j

•

j

）+（λ-2）（

i

•

j

）=1-2λ＞0
故λ＜

1

2

又∵λ=-2时，

a

与

b

同向
故实数λ的取值范围是(-∞，-2)∪(-2，

1

2

)
故答案为：(-∞，-2)∪(-2，

1

2

)

点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据

a

与

b

的夹角为锐角，则

a

•

b

＞0构造一个关于λ的不等式，是解答本题的关键，但本题易忽略λ=-2时，

a

与

b

同向的情况，而错解为（-∞，

1

2

）．