Question

（2013•淄博二模）在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE＞1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（I）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；
（II）若二面角A-DE-B为60°，求AE的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别取BC、BA、BE的中点M、N、P，连接DM、MN、NP、DP．由三角形中位线定理，证出NP∥AE且NP=

1

2

AE=1．根据等腰△BCD的“三线合一”证出DM⊥BC，利用面面垂直的性质定理证出DM⊥平面ABC，结合AE⊥平面ABC得到DM∥AE．因此得到DM∥NP且DM=NP，从而四边形DMNP为平行四边形，得到MN∥DP，根据线面平行判定定理证出AC∥平面BDE；
（Ⅱ）过M作MQ⊥ED的延长线于Q，连结BQ．由线面垂直的判定与性质，证出ED⊥BQ可得∠MQB为二面角A-ED-B的平面角，即∠MQB=60°．在Rt△BMQ中，算出MQ、BQ的长，在Rt△MND中算出DQ的长．设AE=h+1，可得DE、BE、QE关于h的表达式，在Rt△BQE中利用勾股定理建立关于h的方程，解之即可得到h的值，从而得到AE的长．

解答：解：（Ⅰ）分别取BC、BA、BE的中点M、N、P，连结DM、MN、NP、DP，
则MN∥AC，NP∥AE，且NP=

1

2

AE=1
∵BD=CD，BC=2，M为BC的中点，∴DM⊥BC，DM=1
又∵平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，BC?平面BCD
∴DM⊥平面ABC…（2分）
又∵AE⊥平面ABC，∴DM∥AE…（4分）
∴DM∥NP，且DM=NP，可得四边形DMNP为平行四边形，
∴MN∥DP，可得AC∥DP，
又∵AC?平面BDE，DP?平面BDE，∴AC∥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）过M作MN⊥ED的延长线于Q，连结BQ．
∵BC⊥AM，BC⊥DM，∴BC⊥平面DMAE，
结合ED?平面DMAE，可得BC⊥ED．
∴ED⊥平面BMQ，
∵BQ?平面BMQ，∴ED⊥BQ．
因此，∠MQB为二面角A-ED-B的平面角，即∠MQB=60°．…（9分）
在Rt△BMQ中，BM=1，则MQ=

1

3

，BQ=

2

3

；在Rt△MND中，DQ=

6

3

．
设AE=h+1，则DE=

h2+3

，可得QE=

h2+3

+

6

3

，
又∵BE=

(h+1)2+22

∴在Rt△BQE中，BE²=BQ²+QE²，即（h+1）²+2²=(

2

3

)2+(

h2+3

+

6

3

)2
解之得h=

6

，可得AE=

6

+1…（12分）

点评：本题在三棱锥中证明线面平行，并在已知二面角的大小为60度的情况下求线段AE的长．着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．