Question

5．已知函数f（x）=e^x+mx-3，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞0时，若不等式（t-x）e^x＜t+2恒成立，求实数t的最大整数值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件，曲线在（0，f（0））处的切线斜率k=0，即f'（0）=1+a=0，可得a=-1，f'（x）=e^x-1，再通过解不等式即可求出单调区间；
（Ⅱ）利用转化思想，x＞0时，不等式（m-x）e^x＜m+2等价于t＜$\frac{{xe}^{x}+2}{{e}^{x}-1}$，然后构造新函数，记g（x），根据（1）的结论可得存在x₀∈（1，2），使得g'（x₀）=0，且g（x）_min=g（x₀），再通过化简运算可得g（x）_min=x₀+1，由x₀∈（1，2），即可求出t的最大整数值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=e^x+m，
由条件，f'（0）=1+m=0，得m=-1，则f'（x）=e^x-1
由f'（x）=e^x-1＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）．
（Ⅱ）x＞0时，不等式（t-x）e^x＜t+2等价于：
t＜$\frac{{xe}^{x}+2}{{e}^{x}-1}$，令g（x）=$\frac{{xe}^{x}+2}{{e}^{x}-1}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}{（e}^{x}-x-3）}{{{（e}^{x}-1）}^{2}}$，
由（1）得u（x）=e^x-x-3在（0，+∞）上单调递增，
又∵u（1）＜0，u（2）＞0，
∴g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点x₀，且1＜x₀＜2，
∴当x∈（1，x₀）时，g'（x）＜0，当x∈（x₀+∞）时，g'（x）＞0，
∴g（x）_min=g（x₀），由g'（x₀）=0得e^x₀=x₀+3，
∴g（x）_min=g（x₀）=x₀+1，
∵1＜x₀＜2，∴2＜g（x₀）＜3，
∵t＜g（x₀），∴t的最大整数值为2．

点评 本题考查了利用导数求切线的斜率和函数的单调区间，以及函数恒成立问题，着重考查了数学转化思想方法，以及函数最值的求法，利用参数分离法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．