Question

【题目】已知椭圆 的右焦点F（1，0），椭圆Γ的左，右顶点分别为M，N．过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且△MCD的面积是△NCD的面积的3倍．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）若CD与x轴垂直，A，B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD=∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）因为椭圆 的右焦点F（1，0），
所以c=1，
因为△MCD的面积是△NCD的面积的3倍，
所以MF=3NF，即a+c=3（a﹣c），所以a=2c=2，所以b2=3，
则椭圆Γ的方程为 ．
（II）解法一：当∠ACD=∠BCD，则kAC+kBC=0，
设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为﹣k，
不妨设点C在x轴上方， ，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则AC的直线方程为 ，代入 中整理得（3+4k2）x2﹣4k（2k﹣3）x+4k2﹣12k﹣3=0， ；
同理 ．
所以 ，
则 = = ，
因此直线AB的斜率是定值 ．
（II）解法二：依题意知直线AB的斜率存在，所以设AB方程：y=kx+m，
代入 中，整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
所以 ， ，
△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=16（12k2﹣3m2+9）＞0
当∠ACD=∠BCD，则kAC+kBC=0，不妨设点C在x轴上方， ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
整理得12k2+12（m﹣2）k+9﹣6m=0，
即（6k﹣3）（2k+2m﹣3）=0，所以2k+2m﹣3=0或6k﹣3=0．
当2k+2m﹣3=0时，直线AB过定点 ，不合题意；
当6k﹣3=0时， ，符合题意，
所以直线AB的斜率是定值
【解析】（I）由椭圆右焦点F（1，0），△MCD的面积是△NCD的面积的3倍，求出a，b，由此能求出椭圆Γ的方程．（II）法一：当∠ACD=∠BCD，则kAC+kBC=0，设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为﹣k，则AC的直线方程为 ，代入 中整理得（3+4k2）x2﹣4k（2k﹣3）x+4k2﹣12k﹣3=0，由此能求出直线AB的斜率是定值 ．法二：设AB方程：y=kx+m，代入 中，整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用韦达定理、根的判别式、直线方程、椭圆性质，结合已知条件，能求出直线AB的斜率是定值 ．