Question

在△ABC中，角A为锐角，且f(A)=

[cos(π-2A)-1]sin(π+ A 2 )sin( π 2 - A 2 )

sin2( π 2 - A 2 )-sin2(π- A 2 )

+cos²A．
（1）求f（A）的最大值；
（2）若A+B=

7π

12

，f(A)=1，BC=2，求△ABC的三个内角和AC边的长．

Answer 1

分析：（1）先利用诱导公式化简f（A），根据A为锐角，确定f（A）的最大值．
（2）利用f（A）=1求出A、B、C三个角，再用正弦定理求出AC边的长．

解答：解：（I）  由已知得f（A）=

1

2

sin2A+cos2A=

1

2

(sin2A+cos2A+1)=

2

2

sin(2A+1)=

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

π

4

＜2A+

π

4

＜

5π

4

∴当2A+

π

4

=

π

2

时，f(A)取值最大值，其最大值为

2 +1

2

（II）由   f（A）=1得sin（2A+

π

4

）=

2

2

2A+

π

4

=

3π

4

，A=

π

4

，∴B=

π

3

∴C=

5π

12

在△ABC中，由正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

∴AC=

BCsinB

sinA

=

2sin π 3

sin π 4

=

6

点评：本题考查诱导公式的化简求值，二倍角的余弦公式等知识，是中档题．