Question

已知向量

a

、

b

不共线，若

AB

=λ1

a

+

b

，

AC

=

a

+λ2

b

，且A、B、C三点共线，则关于实数λ₁、λ₂一定成立的关系式为（　　）

• A、λ₁=λ₂=1
• B、λ₁=λ₂=-1
• C、λ₁λ₂=1
• D、λ₁+λ₂=1

Answer 1

分析：先求A、B、C三点共线的充要条件，我们要先根据已知条件a、b是不共线的向量

AB

=λ1

a

+

b

，

AC

=

a

+λ2

b

，判断λ与μ满足的关系；并以此关系为已知条件，看能不能反推回来得到A、B、C三点共线．如果两个过程都是可以的，该关系式即为所求．

解答：解：由于

AB

，

AC

有公共点A，
∴若A、B、C三点共线
则

AB

与

AC

共线
即存在一个实数t，使

AB

=t

AC

即

λ 1=at 1=λ 2t

消去参数t得：λ₁λ₂=1；
反之，当λ₁λ₂=1时

AB

=λ 1a+b
此时存在实数

1

λ 1

使

AB

=

1

λ 1

AC

故

AB

与

AC

共线
又由

AB

，

AC

有公共点A，
∴A、B、C三点共线
故A、B、C三点共线的充要条件是λ₁λ₂=1．
故选C．

点评：判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．