Question

16．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）若AC=CD，求证A₁D⊥CD．

Answer 1

分析 （1）如图，连接AC₁，交A₁C于点O，连结OD，证明：BC₁∥OD，即可证明BC₁∥平面A₁CD；
（2）若AC=CD，证明CD⊥平面ABB₁A₁，即可证明A₁D⊥CD．

解答 证明：（1）如图，连接AC₁，交A₁C于点O，连结OD．
据直三棱柱性质可知四边形ACC₁A₁为平行四边形，所以O为A₁C的中点．
又因为D是AB的中点，所以BC₁∥OD．…（2分）
又因为BC₁?平面A₁CD，OD?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．…（4分）
（2）因为AC=BC，D为AB中点，所以CD⊥AB．…（5分）
据直三棱柱ABC-A₁B₁C₁性质知AA₁⊥平面ABC．
又因为CD?平面ABC，所以AA₁⊥CD．
又因AA₁∩AB=A，AA₁，AB?平面ABB₁A₁，
所以CD⊥平面ABB₁A₁，…（11分）
又因为A₁D?平面ABB₁A₁，所以CD⊥A₁D，即A₁D⊥CD．…（12分）

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．