Question

已知x+y=1（x＞0，y＞0），求

1

x

+

2

y

的最小值，请仔细阅读下列解法，并在填空处回答指定问题：
解析：∵x+y=1，令x=cos²θ，y=sin²θ，
则

1

x

+

2

y

=

1

cos2θ

+

2

sin2θ

=tan²θ+2cot²θ+3≥3+2

2

．
①指出运用了

 

数学方法；
②指出θ的一个取值范围

 

；
③指出x、y的取值范围

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是简单的演绎推理，根据利用基本不等式求

1

x

+

2

y

的最小值的解题过程对3个问题逐一判断即可得到答案．

解答：解：由于题中：“令x=cos²θ，y=sin²θ”，是利用三角函数中的平方关系进行换元，
故①处填：换元法；
由于换元后要保证x＞0，y＞0，故可考虑θ的一个取值范围是锐角，
故②处填：θ∈（0，

π

2

）；
考虑到使得：“tan²θ+2cot²θ+3≥3+2

2

”中等号成立，
必须满足：tanθ=2cotθ，即tanθ=

2

，
由三角函数的同角公式得：x=2

2

-1，y=2-

2

，
故③处填：x=2

2

-1，y=2-

2

时，

1

x

+

2

y

取得最小值3+2

2

．
故答案为：换元法；θ∈（0，

π

2

）；x=2

2

-1，y=2-

2

时，

1

x

+

2

y

取得最小值3+2

2

．

点评：演绎推理又称三段论推理，是由两个前提和一个结论组成，大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论．又称从规律到现象的推理．