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【题目】设函数(其中为实数).

1)若,求零点的个数;

2)求证:若不是的极值点,则无极值点.

【答案】1)有个零点;(2)证明见解析.

【解析】

1)求得函数的导数,利用导数分析函数的单调性,结合零点存在定理判断出函数在区间上的零点个数,由此可得出结论;

2)分析出当时,是函数的极值点,在时,求得,可知函数上单调递增,令,对的大小进行分类讨论,利用导数分析函数的单调性,由此可证得结论.

1)由题意得,所以

,且,所以恒成立,从而函数上单调递增,

所以当时,;当时,.

则函数上单调递减,在上单调递增,

因为,函数上单调递减且图象连续不断,

所以函数上恰有个零点,

因为,函数上单调递增且图象连续不断,

所以函数上恰有个零点,

综上所述,当时,函数个零点;

2)由(1)知,当时,函数上单调递增,

,当时,;当时,.

所以,是函数的极小值点.

同理当时,也是函数的极小值点.

时,由,且上单调递增.

所以当时,;当时,

从而函数上单调递减;在上单调递增.

,即,则当时,,当时,,则是函数的极值点;

同理若,即,则也是函数的极值点;

,即,则函数上单调递增,此时不是函数的极值点.

综上可知,若不是函数的极值点,则,函数上单调递增,从而函数无极值点.

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