Question

19．已知抛物线C₁：y²=ax（a＞0）的焦点与双曲线C₂：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的右焦点重合，记为F点，点M与点P（4，6）分别为曲线C₁，C₂上的点，则|MP|+|MF|的最小值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 8
• C． $\frac{13}{2}$
• D． $\frac{11}{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的焦点坐标，得出抛物线方程，设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MP|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，答案可得．

解答 解：（4，6）代入双曲线C₂：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$，可得$\frac{16}{4}-\frac{36}{{b}^{2}}=1$，∴b²=12，
∴c=4，∴F（4，0），
∵抛物线C₁：y²=ax（a＞0）的焦点与双曲线C₂：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的右焦点重合，
∴a=16，抛物线方程为y²=16x，
设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|，
∴要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，
当D，M，P三点共线时|MP|+|MD|最小，为4+4=8．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，P三点共线时|PM|+|MD|最小，是解题的关键．