【题目】在三棱柱中,侧面是边长为2的菱形,,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若底面是以为直角顶点的直角三角形,且,求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由菱形的性质可得,由等腰三角形的性质可得,从而可得平面,进而可得结果;(2)由(1)可知,,,则,又,则平面,以为坐标原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴建立坐标系,求出平面的法向量与平面的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
(1)证明:连接,∵四边形是菱形,且,
∴为等边三角形.
取的中点,连接,,则,
又∵,
∴,
∵,、平面,
∴平面,
又∵平面,
∴.
(2)由(1)及题意可知,,,则,又,则平面,以为坐标原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴建立如图所示的坐标系,
则,,,,,
∴,,,
∴,
∴,
∴,
设平面的法向量为,
则,可得,故可取.
设平面的法向量为,同理可取,
∴,
∴二面角的正弦值为.
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【题目】已知抛物线的焦点为,点的坐标为,点在抛物线上,且满足,(为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作斜率乘积为1的两条不重合的直线,且与抛物线交于两点,与抛物线交于两点,线段的中点分别为,求证:直线过定点,并求出定点坐标.
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【题目】已知圆,点,是圆上一动点,点在线段上,点在半径上,且满足.
(1)当在圆上运动时,求点的轨迹的方程;
(2)设过点的直线与轨迹交于点(不在轴上),垂直于的直线交于点,与轴交于点,若,求点横坐标的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,,,且,E为PD中点.
(I)求证:平面ABCD;
(II)求二面角B-AE-C的正弦值.
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【题目】过圆:上一动点作轴的垂线,交轴于点,点满足.
(Ⅰ)求点的轨迹方程;
(Ⅱ)设点的轨迹为曲线,过点的直线交曲线于,两点,过且与垂直的直线交圆于,两点,求四边形面积的取值范围.
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【题目】已知抛物线,斜率为的直线交抛物线于,两点,当直线过点时,以为直径的圆与直线相切.
(1)求抛物线的方程;
(2)与平行的直线交抛物线于,两点,若平行线,之间的距离为,且的面积是面积的倍,求和的方程.
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