已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.
(Ⅰ)证明:直线恒过定点M;
(Ⅱ)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
(Ⅰ)证明:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0化为(x-2y-3)m=-2x-y-4.(3分)
得
∴直线必过定点(-1,-2).(6分)
(Ⅱ)解:设直线的斜率为k(k<0),则其方程为y+2=k(x+1),
∴OA=|
-1|,OB=|k-2|,(8分)
S
△AOB=
•OA•OB=
|(
-1)(k-2)|=
|-
|..(10分)
∵k<0
,∴-k>0,
∴S
△AOB=
[-
]=
[4+(-
)+(-k)]≥4.
当且仅当-
=-k,即k=-2时取等号.(13分)
∴△AOB的面积最小值是4,(14分)
直线的方程为y+2=-2(x+1),即y+2x+4=0.(15分)
分析:(Ⅰ)直线方程按m集项,方程恒成立,得到方程组,求出点的坐标,即可证明:直线恒过定点M;
(Ⅱ)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点,说明直线的斜率小于0,设出斜率根据直线过的定点,写出直线方程,求出△AOB面积的表达式,利用基本不等式求出面积的最小值,即可得到面积最小值的直线的方程.
点评:本题是中档题,考查直线恒过定点的知识,三角形面积的最小值的求法,基本不等式的应用,考查计算能力,转化思想的应用.