Question

已知A₁，A₂，…，A_n，…依次在x轴上，A1(1，0)

，A2(5，0)

， AnAn+1 = 1 2 An-1An

（n=2，3，…），点B₁，B₂，…，B_n，…依次在射线y=x（x≥0）上，且B₁（3，3），|

OBn

|=|

OBn-1

|+2

2

(n=2，3，…)
（1）用n表示A_n，B_n的坐标；
（2）若四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积为S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意

AnAn+1

=

1

2

An-1An

是一个等比关系，故根据等比数列公式求其通项，进而求出示A_n，B_n的坐标；
（2）由题意（1）中数列的前n项和即为An的纵坐标，再由在射线y=x（x≥0）上依次有点B1，B2，…，Bn，…即可得出Bn的坐标；根据四边形AnAn+1Bn+1Bn的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积来求，求出面积的表达式，再作差Sn-Sn-1，确定其单调性，然后求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

AnAn+1

=

1

2

An-1An

，又∵A1(1，0)，A2(5，0)
∴

AnAn+1

=

1

2n-1

A1A2

=

1

2n-1

(4，0)=(

1

2n-3

，0)
∴

A1An

=

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

=（4+2+…+

1

2n-4

，0）=（8-

16

2n

，0）
∴An(9-

16

2n

，0)
又∵B₁（3，3），
∴|

OB1

|=3

2

又∵|

OBn

|=|

OBn-1

|+2

2

(n=2，3，…)
∴|

OBn

|=（2n+1）

2

∵点B₁，B₂，…，B_n，…依次在射线y=x（x≥0）上，
∴B_n（2n+1，2n+1）
（2）∵

|AnAn+1

|=

1

2n-3

，△A_nA_n+1B_n+1的底面边A_nA_n+1的高为h₁=2n+3，
又∵

|BnBn+1

|=2

2

，点An(9-

16

2n

，0)到直线y=x的距离为h₂=

9- 16 2n

2

∴S_n=

1

2

•(2n+3)•

1

2n-3

+

1

2

•2

2

•

9-( 1 2 )n-4

2

=9+(8n-4)(

1

2

)n
∴S_n-S_n-1=(20-8n)(

1

2

)n
当n≤2时，S_n-S_n-1＞0；
当n≥2时，S_n-S_n-1＜0；
∴S₁＜S₂＞S₃＞…＞Sn＞…
∴S_max=S₂=12

点评：本题是一个数列应用题，也是等差等比数列的一个综合题，本题有着一个几何背景，需要做正确的转化和归纳，才能探究出正确的解决方法．本题是个难题，比较抽象．