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已知椭圆,过点P(1,1)作直线l与椭圆交于M、N两点.
(1)若点P平分线段MN,试求直线l的方程;
(5)设与满足(1)中条件的直线l平行的直线与椭圆交于A、B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,求证:CD∥AB.
【答案】分析:(1)设M(xM,yM),N(xN,yN),则有xM+xN=2,yM+yN=2,利用点差法,可得,从而可求直线l的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),且,可得,将点A、C的坐标分别代入椭圆方程,化简可得,同理有,由此可得λ12,故可证得结论.
解答:(1)解:设M(xM,yM),N(xN,yN),则有xM+xN=2,yM+yN=2.
①-②化简可得+=0

故直线l的方程为,即x+2y-3=0.(5分)
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),且
∴1-x11(x3-1),1-y11(y3-1)

将点A、C的坐标分别代入椭圆方程:①,
②×-①,并约去1+λ1
同理有
④-③可得+21
,∴+=0

,即λ12
所以CD∥AB.(12分)
点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,考查点差法的运用,解题的关键是设点,利用点差法解题.
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