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3.点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点的轨迹方程
(2)求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长.

分析 (1)设出AP的中点坐标,利用中点坐标公式求出P的坐标,据P在圆上,将P坐标代入圆方程,求出中点的轨迹方程.
(2)求出直线方程,圆心到直线的距离,利用勾股定理,求出过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长.

解答 解:(1)设AP中点为M(x,y),
由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y)
∵P点在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)过点B倾斜角为135°的直线方程为x+y-2=0,
圆心O(0,0)到直线x+y-2=0的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$,
∴过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长为2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$.

点评 本题考查中点坐标公式、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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